domingo, 20 de abril de 2008

MÉTODO DUAL


A cualquier problema que llamamos primal tiene mas restricciones que variables, esto simplifica la solución porque el problema se representa como un problema dual y se maneja con menos restricciones.

Esto es:

1.- si el primal se refiere a maximizar, el problema dual sera minimizar.

2.- los coeficientes de la funcion objetivo del primal seran los coeficientes del vector de disponibilidad de recursos en el dual.

3.- asi, los coeficientes del vector disponibilidsd de recursos del problema primal seran los coeficientes de la funcion objetivo (vector costos, precios o utilidad) en el programa dual.

4.- los coeficientes d e las restricciones en el primal ( transpuesta de la matriz), sera la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual.

5.- los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal.

6.- las variables “x” del primal, se convierten en nuevas variables “y” en el dual.




1.- considerando el siguiente problema primario, calcular su modelo dual.

Sea máx. = Z= 3x + 5y


Ponemos los coeficientes disponibilidad en forma de vector columna ( matriz) primal




y estos se convierten en vector, horizontal o vertical ( matriz fila ) transpuesta; esto es

Hacemos las restricciones del primal en forma de matriz





Por lo tanto su transpuesta Dual Sera:




Y al maximizar:






















METODO DE ASIGNACION

MÉTODO de ASIGNACIÓN:

El problema de asignación tiene que ver con la asignación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas. Al aplicar el método de transporte y el método de asignación la gerencia está buscando una ruta de distribución o una asignación que optimizará algún objetivo; éste puede se la minimización del costo total, la maximización de las utilidades o la minimización del tiempo total involucrado.
Al igual que el método de transporte el método de asignación es computacionalmente más eficiente que el método simplex para una clase especial de problemas. El método de asignación también conocido como la Técnica de flood o el método Húngaro de asignación. Hay básicamente tres pasos en este método
Determine la tabla de costo de oportunidad:
Reste el elemento del costo más bajo en cada columna de la tabla de costo dada, de todo los elementos en esa columna.
Reste el asiento más bajo en cada renglón de la tabla obtenida en la parte 1.1 de todos los números en ese renglón.
Determine si se puede hacer una asignación óptima: El procedimiento es dibujar líneas rectas (verticales y horizontales) a través de la tabla de costos total de oportunidad, de tal manera que se minimice el número de líneas necesarias para cubrir todos los cuadros CERO. Si el número de líneas dibujadas es menor que el número de renglones o columnas, no se puede hacer una asignación óptimas y el problema no está resuelto.
Revise la tabla de costo total de oportunidad.
Seleccione el número más pequeño en la tabla no cubierto, por una línea recta y reste este número de todos los números no cubiertos por una línea recta.
Añada este mismo número a los números que están en la intersección de dos líneas cualesquiera. Regrese al paso 2 .

METODO DE LAS DOS FASES

Método de las Dos Fases

Éste método difiere del Simplex en que primero hay que resolver un problema auxiliar que trata de minimizar la suma de las variables artificiales. Una vez resuelto este primer problema y reorganizar la tabla final, pasamos a la segunda fase, que consiste en realizar el método Simplex normal.
En esta primera fase, se realiza todo de igual manera que en el método Simplex normal, excepto la construcción de la primera tabla, la condición de parada y la preparación de la tabla que pasará a la fase 2.
- Construcción de la primera tabla: Se hace de la misma forma que la tabla inicial del método Simplex, pero con algunas diferencias. La fila de la función objetivo cambia para la primera fase, ya que cambia la función objetivo, por lo tanto aparecerán todos los términos a cero excepto aquellos que sean variables artificiales, que tendrán valor "-1" debido a que se está minimizando la suma de dichas variables (recuerde que minimizar F es igual que maximizar F·(-1)).
La otra diferencia para la primera tabla radica en la forma de calcular la fila Z. Ahora tendremos que hacer el cálculo de la siguiente forma: Se sumarán los productos Cb·Pj para todas las filas y al resultado se le restará el valor que aparezca (según la columna que se éste haciendo) en la fila de la función objetivo.



Siendo Zj = Σ(Cb·Pj) - Cj y los Cj = 0 para todo j comprendido entre 0 y n-k (variables de decisión, holgura y exceso), y Cj = -1 para todo j comprendido entre n-k y n (variables artificiales).

- Condición de parada: La condición de parada es la misma que en el método Simplex normal. La diferencia estriba en que pueden ocurrir dos casos cuando se produce la parada: la función toma un valor 0, que significa que el problema original tiene solución, o que tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene solución.


- Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la conclusión de que el problema original tiene solución, debemos preparar nuestra tabla para la segunda fase. Deberemos eliminar las columnas de las variables artificiales, modificar la fila de la función objetivo por la original, y calcular la fila Z de la misma forma que en la primera tabla de la fase 1.

Método VOGEL

Método de transporte {Método de vogel (VAM)


Es un método de ahorro que trabaja sobre el ahorro y suele producir una mejor solución óptima o próxima al nivel óptimo.

Paso 1.-Requiere de una penalización para cada renglón (columna)
Restando el menor elemento de costo del renglón

Problema:

Supongamos que a una empresa transnacional que tiene tres plantas R , S, T estas surten de producto hacia almacenes A , B , C, D, E, F, G, que forman parte del grupo empresarial debemos considerar lo relacionado al costo de transporte desde la planta a cada almacén.























FORMULA

FC
M+N-1
3+8-1=10





PRUEBA DE OPTIMIDAD






CONCLUSION

























Método SIMPLEX por minimización

Minimizar Z= 3m + 4n - 8ñ

3m – 4n ≤ 12
M + 2n + ñ ≥ 4
4m – 2n +5ñ ≤ 20

M ≥ 0, n ≥ 0, ñ ≥ 0

Como es un problema de minimización recordemos que tenemos que maximizar la función objetivo quedando así

-3m – 4n + 8ñ + Z = 0

Las inecuaciones las hacemos igualdades

3m – 4n = 12
m + 2n + ñ = 4
4m – 2n +5ñ = 20

Ahora tenemos que hacer nuestra tabla 1 y aplicaremos el mismo procedimiento del método SIMPLEX para maximizarlo



Ahora de la tabla tomaremos el MAYOR POSITIVO en este caso es el 8 y ya encontramos nuestra columna pivote.

Posteriormente dividimos 28/5 = 4 4/1 = 4 12/0 = 0, y tenemos que tomar el numero menor de estas divisiones en este caso tenemos dos, cuatros podemos tomar cualquiera

Y ya encontramos nuestro pivote operacional en este caso es 1, ahora tenemos que dividir toda esa fila entre este 1 para poder resolver la siguiente tabla



Ahora la ñ ya paso a la base

El problema se termina aquí porque ya nos quedaron puros negativos y ceros en nuestra PO que era nuestro objetivo

3m – 4n ≤ 12
3(0) – 4 (0) ≤ 12
0 ≤ 12 Si cumple

m + 2n + ñ ≥ 4
0 + 2(0) + ¼ ≥ 4
¼ ≥ 4 No cumple

4m – 2n + 5ñ ≤ 20
4 (0) – 2 (0) + 5 (1/4) ≤ 20
1.25 ≤= 20 Si cumple

3m + 4n – 8ñ
Z = 3 (0) + 4(0) – 8 (1/4)
Z = 2


Metodo de la Gran M

Este método empieza con la PL en la forma estándar Para cualquier ecuación i que no tiene una holgura, aumentamos una variable artificial R. Entonces esta variable se convierte en parte de la solución básica inicial. Debido a que es una variable artificial al modelo de PL se le asigna una penalidad en la función objetivo, para obligarlas aun nivel cero en una iteración del algoritmo SIMPLEX

Debido a que M es un valor positivo suficientemente grande, la variable R1 se penaliza en la función objetivo utilizando —MR, en el caso de la maximización, y +RM, en la minimización. Debido a esta penalidad El proceso de optimización lógicamente tratara de impulsar R1, al nivel cero






La forma estándar se obtiene restando un superávit X3 en la segunda restricción y añadiendo una holgura X en la tercera restricción. Por tanto obtenemos

Minimice Z= 4X1 +X2





La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como

Minimice Z=4X1 +X2 + MR1 + MR2






En el modelo modificado, ahora podemos utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial como lo demuestra la siguiente tabla simplex